Enunciado

Se dispone de un cuerpo sólido; en él la temperatura varía de modo continuo de unos de sus puntos a otros. En el interior de dicho cuerpo, se considera una cierta circunferencia ¿Puede asegurarse que, en la circunferencia, ha de haber dos puntos diametralmente opuestos que tengan la misma temperatura?

Respuesta

Llamemos γ a la circunferencia; tomemos en γ un punto fijo (cualquiera), al que llamaremos A. Para cada punto P de γ, sea P’ el punto diametralmente opuesto de P. Sea d(P) la siguiente diferencia de temperaturas:

 d(P) = (temperatura de P ) – (temperatura de P’ )

Nótese que la función d(P) varía de modo continuo al variar P a lo largo de γ.

Vamos a comprobar que el problema planteado tiene respuesta positiva, es decir, que existe algún punto P de γ, tal que d(P) = 0. Nótese que si fuese d(A) = 0, la cuestión estaría probada; supondremos pues que es d(A) > 0 o que es d(A) < 0; pongámonos en el caso d(A) > 0 (para el caso d(A) < 0, se razonaría de modo análogo). Hagamos que el punto A varíe recorriendo la circunferencia γ (en uno de los dos sentidos posibles) hasta llegar a situarse en el lugar de A’; adviértase que d(A’) toma el valor:

d(A’) = (temperatura de A’) – (temperatura de A ) = -d(A)

por lo que será d(A’) = -d(A) < 0 . Así pues, la función d, que era positiva en A, es negativa en A’, por lo que, como d es continua a lo largo de γ, resulta que, de acuerdo con la propiedad de Darboux (o el teorema de Bolzano), ha de haber algún punto de γ en el que d tome el valor 0, como quería- mos comprobar.

Véase también   http://web.fmetsia.upm.es/gudor