Enunciado y respuesta

SEPARANDO ALFILERES EN DOS PARTES IGUALES ( II )

Enunciado

En un plano se dispone de unos ejes coordenados, X  e Y, y se considera el conjunto P de los puntos de coordenadas (p, q), donde: 1º) p y q son números enteros; 2º) |p| < 1000 y |q| < 1000; y 3º) p y q son primos entre sí. Se selecciona, de un modo totalmente arbitrario, la mitad de estos puntos y, sobre cada uno de estos, se pincha un alfiler delgadísimo (ideal, de grosor nulo.). Se desea saber si habrá alguna recta que pase por el origen de coordenadas, que no pase por ninguno de los puntos de P y que deje a cada uno de sus lados la mitad de los alfileres. Se espera una respuesta razonada.

Nota.- Se puede simplificar el problema, sustituyendo el conjunto P por otro más sencillo como, por ejemplo, el conjunto formado por los dieciséis puntos siguientes: los (1,1), (1, 2), (1, 3) y (1, 4) y sus simétricos respecto del origen y de los dos ejes coordenados.

Respuesta

 Vamos a justificar que la respuesta es afirmativa, esto es, que siempre existe una de tales rectas que deja igual número de alfileres a cada uno de sus lados:

* Ninguno de los puntos (p, q) de P, está situado ni en el eje X ni en el eje Y, pues p y q son, siempre, distintas de 0 (ya que el 0 es múltiplo de todos los números enteros, luego no es primo con ninguno de ellos).

* Si (p, q) es un punto de P, también lo son los (p, -q), (-p, q) y (-p, -q); en particular, si un punto, (p, q), es de P, también lo es su simétrico respecto del origen, (-p, -q).

* Hay igual número de puntos, de P, en cada uno de los cuatro cuadrantes del plano; llamaremos n al número de ellos que hay en uno de los cuadrantes, por lo que en total habrá 4n.

* En una recta que pase por el origen no puede haber más de dos puntos de P ; es más, si (p, q) es uno de ellos, entonces el otro es el (-p, -q). En efecto, si en una tal recta hubiera dos de tales puntos, pongamos que son los (p, q) y (p´, q´), habría de ser p/q = p´/q´, o sea p.q´= q.p´; por tanto, p divide el producto q.p´ y, como p es primo con q, resulta entonces que p divide a p´. De igual modo se comprueba que p´ ha de dividir a p y, consecuentemente, tiene que ser p´= p  o p´= -p. Análogamente, se puede obtener que ha de ser q´= q  o  q´= -q. De todo lo anterior se desprende que el punto (p´, q´) no puede ser otro que el (-p, -q), como se había anunciado antes.

* Nos encontramos pues con que solo hay 2n rectas, de las que pasan por el origen, que contengan puntos de P y, cada una de ellas, contiene a dos puntos de P, los cuales son simétricos respecto del origen. Las rectar de las que habla el enunciado (las que no contienen puntos de P ) son, entonces, todas las demás, esto es las situadas en los 2n ángulos completos (cada uno de estos consta de dos “semiángulos” opuestos por el vértice) que determinan cada dos rectas consecutivas de las 2n que si que contienen puntos de P ; a estos ángulos completos los llamaremos A1, A2, …, A2n, empezando por el que contiene al eje X ( que es el A1) y girando en sentido contrario al de la agujas de un reloj.

* Empezaremos considerando una recta de las de A1; si ella deja n alfileres a cada uno de sus lados, entonces se verifica, para ella, la propiedad. Si no es así, dejara n1 alfileres a un lado (el semiplano superior) y n2 al otro (el semiplano inferior), n1 y n2 distintos y tales que n1 + n2 = 2n. Para diferenciar a los dos semiplanos, pongamos un distintivo en uno de ellos; por ejemplo, supongamos pintado de verde el lado del semieje X positivo que linda con el semiplano superior.

 * Pasemos ahora, desde la recta situada en el ángulo A1, a una recta situada en el ángulo A2. En este cambio, en el semiplano con la marca verde se ha perdido un punto de P (situado hacia la zona de lo verde) y se ha ganado otro punto (simétrico del anterior). Según que en estos puntos haya o no alfileres, resultara que, para esta recta, el numero de alfileres en el semiplano de lo verde será n1 (si hay alfiler en ambos o en ninguno), n1-1 (si hay alfiler en el punto que se pierde y no lo hay en el que se gana) o n1+ 1 (si hay alfiler en el punto que se gana y no lo hay en el que se pierde). Así pues, al pasar al siguiente ángulo, el número de alfileres o no cambia o se altera en una unidad (en más o en menos).

* Si vamos pasando, uno tras otro, a los ángulos A3, A4,…, A2n, en cada paso el número de alfileres del semiplano de lo verde o permanece fijo o se altera en una unidad.

 * Cuando, finalmente, hayamos llegado al ángulo A2n, entonces el semiplano de lo verde será el semiplano opuesto al primer semiplano de lo verde, esto es al correspondiente al ángulo A1. Así pues, el número de alfileres del semiplano de lo verde de A2n será n2.  

 * Por ello, a lo largo de todo este proceso, el número de alfileres de los semiplanos de lo vede ha pasado forzosamente por todos los números naturales comprendidos entre el n1 (de A1) y el n2 (de A2n). Ahora bien, como sabemos que n está comprendido entre n1 y n2, resulta que en alguno de los ángulos, por los que hemos ido pasando, el número de alfileres del semiplano de lo verde ha de ser n (que es la mitad de los alfileres), lo que prueba lo que nos habíamos propuesto.

Véase también el “Blogs del Autor”, en www.ingebook.com