Enunciado y respuesta

EJERCICIO DE NÚMEROS NATURALES - II

Enunciado

Sea an = 11…1 (n unos, para cualquier n natural). Comprobar que si un número natural p no admite como divisores ni a 2 ni a 5, entonces p divide a infinitos de los números an.

Respuesta

Al dividir los distintos an por p, a lo más se obtienen p restos distintos, pues todos han de ser menores que p. Así pues, hay un momento en el que el resto, r, es igual a un resto anterior, de manera que (para ciertos números naturales h y k y denotando con c a los cocientes) será:

ah = p ch + r                  ah+k =  p ch+k + r  

Restando, se obtiene que

ak·100…0 = [múltiplo de p]

Luego p divide al producto an·100…0 y, como p es primo con 100…0, resulta que p divide a ak. Pero resulta, además, que p también divide, entonces, a a2k,a3k, , ya que

a2k = ak (100…0 + 1),     a3k = ak (100…00…0 + 100…0 + 1),…

Así pues, p divide a los infinitos an siguientes: ak, a2k, a3k, , alk, .