Devaneo con divisibilidad al fondo

ECUACIÓN CON UN NÚMERO PRIMO

Enunciado  

Sea p un número primo, dado. Hallar todos los números naturales a y b tales que

ab = (a + b)p.

Respuesta (Sólo para después de haberse trabajado el ejercicio)

Como p es primo y divide al producto ab, resulta que ha de dividir a uno, al menos, de los a o b; supongamos que divide a a (análogamente se procedería si dividiera a b), esto es, que a = pk, para cierto k natural. Así pues, la ecuación dada tomará la forma

 pkb = (pk + b)p    o sea    (k - 1)b = kp   

Como k y k -1 son primos entre sí, resulta que k - 1 ha de dividir a p y, como p es primo, ha de ser  k -1  = 1  ó  k - 1 = p.

·                En el caso  k -1 = 1,  será:  k = 2,   a = 2p,  b = 2p

·                En el caso  k - 1 = p,  será:  k = p + 1,   a = p(p + 1),  b = p + 1  

Luego las soluciones son:

(a, b) = (2p, 2p),   (a, b) = (p(p + 1), p + 1)   y   (a, b) = (p + 1, p(p + 1))