Un ejercicio con números naturales

Enunciado.- El producto de 11 números naturales consecutivos es el siguiente número N:

N = 1349d65677b76ba

Hallar los dígitos a, b, c y d.

Respuesta (Solo para el caso de no acertar con el modo de resolver el problema)

Como los 11 números que se multiplican son consecutivos, se puede asegurar que su producto N es divisible, al menos, por 4, por 25, por 7 y por 11. Entonces:

* N es divisible por 4·25=100, por lo que ha de ser a=b=0.

* Como N es divisible por 11, ha de ser (La suma P, de sus cifras de lugar par, menos la suma I, de sus cifras de lugar impar, ha de ser múltiplo de 11, que lo señalaremos poniendo P–I=11º):

P – I = (30 + c) – (24 + d) = 6 + c – d = 11º,

Esto es d–c=6+11º. Dado que d–c puede valer desde -9 hasta 9 y como, de entre todos estos números, solo los -5 y 6 son de la forma 6+11º, ha de ser d-c=-5 o d–c=6, por lo que el par (c, d) puede valer

(c, d) = (5, 0), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4), (0, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9)                      (I)

*Por ser N divisible por 3, ha de ser P+I=3º, esto es 54+c+d=3º, que es lo mismo que c+d=3º. De entre las posibles soluciones, las de (I), solo las

                                               (c, d) = (7, 2), (0, 6), (3,9)                                          (II)

cumplen la anterior condición.

*Por ser N divisible por 7, deberá ser:

1·0+3·0+2·6+ (-1)·7+(-3)·c+(-2)·7+1·6+3·5+2·6+(-1)·d+(-3)·9+(-2)·4+1·3+3·1=7º,

o sea d+3c=7º. De las posibles soluciones, de (II), solo la (c, d) = (2,7) cumple esta última condición.

Por tanto, los dígitos pedidos son a=0, b=0, c=7 y d=2.

Nota.- El número n es el resultado del siguiente producto de 11 números consecutivos.

N = 13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23