Enunciado.- Sea N un número natural cuya representación decimal es

N = ab...h420       (para ciertos dígitos a, b,..., h)

Hallar un número natural p tal que el numero de divisores de M = 10^pN sea igual a siete veces el número de divisores de N.

Observación.- Recuérdele que el número de divisores del  numero u^α...v^β  es  (α+ 1)...(β + 1).

Respuesta.- El número N es divisible (entre otros divisores primos) por 2 y por 5; N tiene el factor 5 una sola vez; el factor 2 lo tiene dos veces (nótese que 420 es divisible por 2² pero no lo es por 2³). Así pues, la descomposición de N en factores primos es de la forma N = 2².5.u^α...v^β (para unos ciertos u,..., v  primos, distintos de 2 y de 5; α,..., β naturales). Entonces, la descomposición en factores primos de M es M = 10^p.N = 2^p+2.5^p+1.u^α...v^β. Así pues, N y M tienen, respectivamente, los siguientes números de divisores:

3.2.(α+1)...(β+1)    y     (p +3)(p +2)(α+1)...(β+1)

Como el segundo ha de ser igual a siete veces el primero, resulta que:

(p +3)(p +2) = 7.3.2   ecuación cuyas raíces son p = 8 y p = - 9

 Como p ha de ser un número natural, se concluye que p = 8.