ANÁLISIS Y MÉTODOS NUMÉRICOS
Definiciones, Teoremas y Resultados

Carlos Vazquez Espí y Juan De Burgos Román

Editorial: García Maroto Editores

Edición: 1

Fecha Publicación: 2011

ISBN: 9788415214670

ISBN ebook: 9788415214687

Páginas: 675

Capítulo 1. LÍMITES DE LAS SUCESIONES
DE NÚMEROS REALES 3
1.1. Los números reales 3
1.2. Límites de sucesiones: definiciones 8
1.3. Órdenes de infinitésimos e infinitos. Equivalencias 9
1.4. Propiedades de los límites 14
1.5. es completo: propiedades 22
Ejercicios y Cuestiones 27

Capítulo 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
DE UNA VARIABLE 39
2.1. Límites de funciones de una variable: definiciones 39
2.2. Órdenes de infinitos e infinitésimos. Equivalencias 41
2.3. Propiedades de los límites 45
2.4. Funciones continuas 50
2.5. Continuidad en intervalos 53
2.6. Continuidad uniforme 54
Ejercicios y Cuestiones 57

Capítulo 3. DERIVADAS DE FUNCIONES
DE UNA VARIABLE 67
3.1. Concepto de derivada 67
3.2. Propiedades y cálculo de derivadas 70
3.3. Teoremas del valor medio 74
3.4. Desarrollos limitados 79
3.5. Fórmula de Taylor 86
Ejercicios y Cuestiones 89

Capítulo 4. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
(UNA VARIABLE) 105
4.1. Estudio local de una función 105
4.2. Curvas en explícitas 107
4.3. Generalidades sobre curvas en polares 113
Ejercicios y Cuestiones 119

Capítulo 5. CÁLCULO DE PRIMITIVAS 131
5.1. Integral indefinida 131
5.2. Métodos generales de integración 134
5.3. Integración de las funciones racionales 135
5.4. Integración de algunas funciones trascendentes 138
5.5. Integración de algunas funciones irracionales 140
Ejercicios y Cuestiones 145

Capítulo 6. INTEGRAL SIMPLE 157
6.1. Integral definida 157
6.2. Propiedades fundamentales de las integrales 161
6.3. Integrales impropias 164
6.4. Criterios de convergencia para integrales
impropias 167
6.5. Aplicaciones geométricas de la integral 170
Ejercicios y Cuestiones 177

Capítulo 7. SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS 191
7.1. Series de términos reales 191
7.2. Criterios de convergencia (para series de términos
positivos) 198
7.3. Series de términos reales cualesquiera 201
7.4. Series de potencias 203
7.5. Serie de Taylor 206
Ejercicios y Cuestiones 209

Parte II.
MÉTODOS NUMÉRICOS

Capítulo 0. ELEMENTOS DISTINTIVOS
DEL CÁLCULO NUMÉRICO 229
0.1. El cálculo numérico. Errores 229
0.2. Representación de números. Error de redondeo 231
0.3. Aritmética de punto flotante 235
0.4. Algoritmos 244
Ejercicios y Cuestiones 247

Capítulo 1. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
DE LAGRANGE 263
1.1. Definiciones 263
1.2. Método de los coeficientes indeterminados 264
1.3. Teorema. Existencia y unicidad del polinomio
interpolante 265
1.4. Forma de Lagrange 266
1.5. Forma de Newton 269
1.6. Multiplicación anidada (método de Horner) 274
1.7. Diferencias divididas 275
1.8. Tabla de diferencias divididas 277
1.9. Error de interpolación 281
1.10. Error de interpolación y diferencias divididas 288
Ejercicios y Cuestiones 293

Capítulo 2. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
DE HERMITE 333
2.1. Definición 333
2.2. Existencia y unicidad del polinomio de Hermite 334
2.3. Forma de Lagrange del polinomio de Hermite 335
2.4. Error del polinomio interpolante de Hermite 336
2.5. Forma de Newton. Tabla de diferencias
divididas con nodos duplicados 338
Ejercicios y Cuestiones 343

Capítulo 3. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
A TROZOS 357
3.1. Introducción 357
3.2. Interpolación lineal a trozos 358
3.3. Interpolación cuadrática a trozos 362
Ejercicios y Cuestiones 365

Capítulo 4. INTERPOLACIÓN MEDIANTE SPLINES
CÚBICOS 371
4.1. Definición 371
4.2. Cálculo del spline cúbico 374
Ejercicios y Cuestiones 381

Capítulo 5. APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS
CUADRADOS 401
5.1. Introducción 401
5.2. Recta de mínimos cuadrados 403
5.3. Parábola de mínimos cuadrados. Modelos lineales 406
5.4. Modelos no lineales 413
5.5. Aproximación continua por mínimos cuadrados 415
Ejercicios y Cuestiones 421

Capítulo 6. ECUACIONES NO LINEALES 449
6.1. Método de la Bisección 450
6.2. Método de la Régula Falsi 454
6.3. Método de Newton 457
6.4. Método de la Secante 464
6.5. Raíces múltiples 468
6.6. Raíces de funciones polinómicas 474
Ejercicios y Cuestiones 477

Capítulo 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 529
7.1. Definiciones 530
7.2. Método de factorización LU 531
7.3. Método de factorización LU con pivotado 540
7.4. Aplicaciones 545
7.5. Sistemas tridiagonales 578
7.6. Método de Cholesky 583
Ejercicios y Cuestiones 559

Capítulo 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 603
8.1. Método de Newton 604
8.2. Método de Newton simplificado 618
Ejercicios y Cuestiones 623

*La edición digital no incluye códigos de acceso a material adicional o programas mencionados en el libro.

Hoy en día, el mundo editorial, con el inestimable apoyo de la informática,
está experimentando cambios tan profundos que permiten
un hacer que era impensable hace sólo unos pocos años. Se están flexibilizando
tanto las cosas que resultan posibles hasta los libros a la carta,
esto es, libros adaptados a las necesidades concretas de cada plan de
estudios, de cada carrera, de cada facultad o escuela, de cada determinada
asignatura.
Aunque aquí hablamos pensando en nuestro caso concreto, el de las
Matemáticas, lo que decimos es igualmente válido para otras disciplinas.
Llevamos ya un tiempo ocupándonos de confeccionar una especie
de gran almacén o colección de textos, de pequeños libros, de modo que
hemos llegado a un todo que abarca la inmensa mayoría de las materias
que, organizadas de uno u otro modo, figuran en los planes de estudios
de los actuales grados universitarios. En algún caso, para que tal cobertura
tuviera efectividad, ha habido que duplicar algunas de las materias,
con distinta amplitud o profundidad; pero para la mayoría de los temas
esto no ha sido necesario. Para cada asignatura concreta, tomamos de
nuestro todo los capítulos pertinentes y los orquestamos con buen juicio
y, añadiendo aquellos ejercicios y problemas que mejor cuadren, terminamos
componiendo un texto pertinente y proporcionado.
El que oiga esto por primera vez, quizá llegue a pensar que no es
buen hacer el nuestro. La experiencia dice lo contrario; la experiencia
dice que, salvo una rara excepción, los textos que así venimos confeccionando,
que ya son muchos, resultan del agrado y a satisfacción de
cuantos los han venido utilizando, tanto de profesores como de alumnos.
Y, como no tenemos abuela, pensamos que, de día en día, aumenta
nuestra pericia en esto de componer libros de texto a la carta.
En el caso concreto de este manual, Análisis y métodos numéricos,
se han confeccionado dos partes. La parte I sobre Cálculo de una variable
real (7 capítulos) y la parte II sobre Métodos numéricos (9 capítulos)
ambas con teoría y ejercicios, sin duda muy útiles para el futuro
ingeniero.
Y ya que han salido a colación los libros de texto que se utilizaban
en los planes anteriores, en los anteriores a esta «reforma Bolonia» de
ahora, creemos oportuno decir que, para lo de hoy, los textos de lo de
ayer no son los más adecuados. Los libros, tanto ayer como hoy, para
ser utilizables, serán rigurosos y precisos, serán claros. Pero hoy han de
ser, además, especialmente accesibles, particularmente llanos, exageradamente
inteligibles. Ha pasado ya la época en los que el profesor tenía
holgura para extenderse en aclaraciones o ampliaciones; en estos
momentos, el tiempo está tasado y la disposición del ánimo es menguada.
Lo que acabamos de señalar ha sido determinante para nosotros, a
ello hemos estado mirando constantemente mientras confeccionábamos
este manual.

Carlos Vazquez Espí
Departamento de Fundamentos Matemáticos
Escuela Superior de Ingenieros Aeronáuticos
Universidad Politécnica de Madrid

Juan De Burgos Román
Catedrático de Matemática Aplicada
Escuela Superior de Ingenieros Aeronáuticos
Universidad Politécnica de Madrid

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