Si preguntamos a un alumno de primeros cursos de ciencias o ingeniería qué es un número complejo, lo más probable es que su respuesta no vaya más allá de definir el número i como la raíz de menos uno (i = –1) y utilizarlo para obtener las raíces de un polinomio cualquiera. Pero esta aplicación, aun siendo muy sencilla, se desprende de una herramienta muy poderosa: la teoría de funciones de variable compleja. Para una persona familiarizada con el análisis real, el salto cualitativo que debe realizar para entender y manejar esta teoría es grande, pero muy fructífero. El objetivo de este texto es doble. Por una parte, ayudar en el salto exponiendo, de forma rigurosa pero a la vez intuitiva, los aspectos más relevantes del análisis complejo y sus similitudes con la teoría de funciones de variable real. Por otra, abrir la puerta a la comprensión de las numerosas herramientas existentes para la resolución de problemas en ciencias e ingeniería. La experiencia docente nos ha enseñado que, en muchas ocasiones, los alumnos desprecian la teoría por árida y obtusa, y acuden directamente a resolver la colección de problemas de examen que tienen a su disposición. Los errores cometidos son dos: • Generalmente un problema de examen engloba varios aspectos de la materia estudiada y hay que verlo dentro del contexto de la asignatura completa. Para aprender a utilizar las herramientas que nos brinda la teoría es conveniente empezar con la resolución de ejercicios breves pero clarificadores. • Cuando compramos un electrodoméstico son muy pocos los que leen atentamente las instrucciones de uso. Si calientas un objeto metálico en un microondas, éste se estropea. Seguramente en el manual de instrucciones habrá una advertencia del tipo si calientas un objeto metálico entonces el microondas se quema. La teoría no es un simple manual de instrucciones que se pueda dejar en el cajón. Recoge un conjunto de leyes que garantizan el buen funcionamiento del procedimiento utilizado para la resolución de un problema. El presente libro pretende ayudar a los alumnos a comprender todo lo que es capaz de ofrecer la teoría de variable compleja desde un punto de vista práctico, de forma concisa y sistemática, siguiendo el esquema propio de esta colección de libros: enunciar los resultados teóricos, asimilar los conceptos mediante varios ejercicios sencillos de aplicación directa y aprender a relacionar los conocimientos adquiridos en las sucesivas etapas a través de problemas más elaborados. Las autoras. Octubre 2007