Parte I. CÁLCULO VECTORIAL
Capítulo 1. LOS ESPACIOS p Y Ep 3
1.1. Los espacios euclídeos p (vectorial) y Ep (afín) 3
1.2. Distancia y entornos 8
1.3. Convergencia en p (o en Ep) 11
1.4. Abiertos y cerrados 14
1.5. Conjuntos conexos 17
Ejercicios y Cuestiones 19
Capítulo 2. CONTINUIDAD DE FUNCIONES
(VARIAS VARIABLES) 29
2.1. Límite de una función en un punto 29
2.2. Propiedades de los límites 31
2.3. Funciones continuas 35
2.4. Propiedades globales de la continuidad 38
2.5. Continuidad uniforme 39
Ejercicios y Cuestiones 43
Capítulo 3. DERIVADAS; DIFERENCIACIÓN 55
3.1. Derivadas (según vectores y parciales) 55
3.2. Diferencial de una función 60

3.3. Derivadas y diferenciales de orden superior 67
3.4. Derivadas y diferenciales de las funciones compuestas 72
Ejercicios y Cuestiones 79
Capítulo 4. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 97
4.1. Funciones implícita e inversa 97
4.2. Extremos relativos 104
4.3. Extremos relativos condicionados 107
Ejercicios y Cuestiones 113
Capítulo 5. OPERADORES DIFERENCIALES 129
5.1. Recordatorios sobre los productos vectorial y mixto 129
5.2. Gradiente 133
5.3. Divergencia 138
5.4. Rotacional 142
5.5. Laplaciano 147
5.6. Apéndice (algunas relaciones entre los operadores
diferenciales) 150
Ejercicios y Cuestiones 151
Capítulo 6. INTEGRALES MÚLTIPLES
Y PARAMÉTRICAS 173
6.1. Integración en intervalos 173
6.2. Integración en conjuntos acotados 178
6.3. Métodos de integración 182
6.4. Integrales paramétricas 187
6.5. Integrales paramétricas impropias 191
Ejercicios y Cuestiones 197
Capítulo 7. INTEGRALES CURVILÍNEAS
Y DE SUPERFICIE 217
7.1. Algo sobre curvas 217
7.2. Integración curvilíneas 220
7.3. Campos irrotacionales; función potencial 223
7.4. Independencia del camino 226

7.5. Teorema de Green
(o de la divergencia en dimensión 2) 227
7.6. Algo sobre las superficies 230
7.7. Integrales de superficie 238
7.8. Los teoremas de Gauss y de Stokes 242
Ejercicios y Cuestiones 253
Parte II. VARIABLE COMPLEJA
Capítulo 1. NÚMEROS COMPLEJOS 287
1.1. Definición de un número complejo.
Operaciones básicas 287
1.2. Representación geométrica de un número complejo 291
1.3. Potencias y raíces de un número complejo 295
1.4. Algunas definiciones topológicas en el plano
complejo 297
Ejercicios y Cuestiones 303
Capítulo 2. FUNCIONES ANALÍTICAS 321
2.1. Función de variable compleja 321
2.2. Límite de una función compleja 323
2.3. Continuidad de una función compleja 326
2.4. Derivabilidad de una función compleja 327
2.5. Función analítica 331
2.6. Funciones armónicas 335
Ejercicios y Cuestiones 339
Capítulo 3. FUNCIONES ELEMENTALES 355
3.1. Función exponencial 355
3.2. Funciones trigonométricas 359
3.3. Funciones hiperbólicas 363
3.4. Función logaritmo 364
3.5. Potencias complejas 372
3.6. Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas 374
Ejercicios y Cuestiones 377

Capítulo 4. INTEGRACIÓN EN EL CAMPO COMPLEJO 393
4.1. Integrales definidas 393
4.2. Contornos 396
4.3. Integrales curvilíneas 400
4.4. Primitivas e independencia del camino 404
4.5. Teorema de Cauchy-Goursat 407
4.6. Fórmula integral de Cauchy 414
4.7. Acotación de funciones analíticas 418
Ejercicios y Cuestiones 421
Capítulo 5. SERIES EN EL PLANO COMPLEJO 443
5.1. Series de números complejos 443
5.2. Series de potencias 445
5.3. Series de Taylor 448
5.4. Series de Laurent 454
5.5. Ceros y singularidades de una función 456
Ejercicios y Cuestiones 461
Capítulo 6. TEORÍA DE LOS RESIDUOS 477
6.1. Residuos 477
6.2. Teorema de los residuos 481
6.3. Aplicación al cálculo de integrales reales 484
Ejercicios y Cuestiones 499
Apéndice A. TEOREMA DE ROUCHÉ Y PRINCIPIO
DEL ARGUMENTO 525
A.1. Residuo logarítmico. Teorema de Rouché 525
A.2. Principio del argumento 529
Apéndice B. TRANSFORMACIÓN CONFORME 537
B.1. Transformación conforme 537
B.2. Transformación de Möbius 540
Apéndice C. TRANSFORMACIONES DE REGIONES 553

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