MÉTODOS NUMÉRICOS PARA FÍSICA E INGENIERÍA

Editorial: García Maroto Editores

Edición: 1

Fecha Publicación: 2020

ISBN: 9788417969936

ISBN ebook: 9788417969943

Páginas: 174

Etiquetas: U. de la Laguna, ULL

1 Esquema conceptual y perspectiva histórica 11
1.1 Esquema conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Perspectiva histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Los métodos numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Las herramientas de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Ecuaciones y sistemas no lineales 19
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Método de iteración de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Método de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Método de Newton generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.1 Simplificaciones del método de Newton . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Convergencia de los métodos de iteración de un punto . . . . . . . . 25
2.6.1 Contracción o aplicación contractiva . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.2 Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.3 Convergencia del método de Newton . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Cotas de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.1 Estimación de la constante de Lipchitz . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.2 Detención del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Orden de convergencia de los métodos de iteración de un punto . . 35
2.9 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.9.1 El verdadero método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Sistemas lineales 41
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Métodos de factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Factorización de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 Tiempo de computación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Almacenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.4 Sistemas con término independiente múltiple . . . . . . . . . 47
3.2.5 Inversión de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.6 Equilibrado del orden de magnitud en los coeficientes del sistema. 49
3.2.7 Corrección de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Variantes de los métodos de factorización . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Sistemas mal condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 Tiempo de computación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6.2 Almacenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7.1 Convergencia de los métodos de Gauss-Seidel y Jacobi . . . . 56

4 Interpolación Polinómica 58
4.1 Interpolación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Interpolación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 El error en la interpolación polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.1 Fórmula del error en términos de la derivada de la función a interpolar . . 66
4.3.2 Fórmula del error en términos de las diferencias divididas . . 67
4.4 Diferencias divididas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Interpolación de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.1 El polinomio interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.2 El error en la interpolación de Hermite . . . . . . . . . . . . . 71

5 Integración y diferenciación numérica 73
5.1 Fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Fórmulas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 El error en las fórmulas de cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1 El error en la fórmulas cerradas de Newton-Cotes. . . . . . . 76
5.3.2 Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Grado de precisión de una fórmula de cuadratura . . . . . . . . . . . 85
5.5 Tiempo de computación y almacenamiento . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6 Cuadratura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6.1 Optimización del grado de precisión . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6.2 Cuadratura gaussiana y polinomios ortogonales . . . . . . . . 90
5.6.3 Forma general de la cuadratura gaussiana. . . . . . . . . . . . 92
5.7 Fórmulas de cuadratura compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.7.1 Regla trapezoidal compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.7.2 Fórmula de Euler Maclaurin para el error de la regla trapezoidal compuesta . 95
5.7.3 Método de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.8 Diferenciación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.8.1 Fórmulas de diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.8.2 Extrapolación de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Ecuaciones diferenciales ordinarias. 106
6.1 Solución numérica de problemas de valores inciales . . . . . . . . . . 106
6.2 Métodos de un paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 El error en los métodos de un paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.1 Error de truncamiento local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.2 Error global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3.3 Error total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3.4 Orden de un método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.4 Métodos de un paso basados en fórmulas de cuadratura . . . . . . . 110
6.4.1 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.2 Método de Euler implícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4.3 Error de truncamiento local en el método de Euler . . . . . . 112
6.4.4 Método de Euler mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4.5 Método de Euler modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5 Métodos Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.5.1 Ejemplos de métodos Runge Kutta. . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5.2 Métodos de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.5.3 Métodos de cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.6 Error de truncamiento local de los métodos Runge Kutta . . . . . . 119
6.6.1 Mejora de los métodos Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7 Métodos multipaso basados en fórmulas de cuadratura . . . . . . . . 124
6.7.1 Métodos explícitos e implícitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.7.2 Métodos predictor corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.8 Error de truncamiento local en los métodos multipaso . . . . . . . . 128
6.8.1 Métodos explícito e implícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.8.2 Métodos predictor corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.9 Ejemplos particulares de métodos multipaso . . . . . . . . . . . . . . 130
6.10 Mejora de los métodos predictor corrector . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.11 Forma general de los métodos multipaso . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.12 Problemas de valores en la frontera en una dimensión . . . . . . . . 135
6.12.1 Método del disparo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.12.2 Método de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7 Ajuste por mínimos cuadrados. 137
7.1 Ajuste por un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.2 Ajuste no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.3 Métodos de minimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3.1 Métodos de descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3.2 Métodos del gradiente y del gradiente conjugado . . . . . . . 141
7.3.3 Métodos de búsqueda aleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8 Cálculo de autovalores 143
8.1 Definiciones y resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.2 Método de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.3 Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.4 Método LR de Rutishauser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.5 Método de factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9 Teoría de probabilidades y simulación 155
9.1 Fundamentos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2 Ejemplos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3 Agrupación de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.3.1 Densidad de probabilidad conjunta . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.3.2 Independencia estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3.3 Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.4 Generación de variables aleatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.4.1 Generación de variables aleatorias a partir de la distribución uniforme . 162
9.4.2 Generación de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . 164
9.4.3 Método de aceptación y rechazo . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.5 Tratamiento de los datos simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

*La edición digital no incluye códigos de acceso a material adicional o programas mencionados en el libro.

Prefacio
El planteamiento de un curso de métodos numéricos para estudiantes de Ciencias
o Ingeniería requiere ofrecer el suficiente nivel como para capacitar al lector en la
resolución de los complejos problemas numéricos que aparecen habitualmente en dichas
disciplinas, con un dimensionamiento acorde a la extensión de las asignaturas
habitualmente dedicadas a esta materia. En este sentido en esta obra se presenta
un conjunto de métodos numéricos aplicables a diferentes problemas, tratando de
extraer las ideas centrales de los mismos e incorporando ejemplos, así como notas
ilustrativas sobre el desarrollo histórico de los métodos analizados. Este planteamiento
permite al lector dotarse de una base que le facilite el profundizar e investigar
por sí mismo en problemas más avanzados, a la vez que hacer un uso ”inteligente”
de las numerosas librerías y herramientas computacionales existentes en el mercado.

Los primeros capítulos están dedicados a la resolución de ecuaciones y sistemas de
ecuaciones tanto lineales como no lineales y a continuación se aborda la interpolación
polinómica en la cual se basa el siguiente capítulo dedicado a la integración numérica.

La resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias ocupa la parte central de
la obra y se continúa con la resolución de problemas de ajuste por mínimos cuadrados
y cálculo de autovalores para finalizar con la teoría de probabilidades y los
fundamentos de la generación de variables aleatorias.

La presente edición es una adaptación del curso de métodos numéricos impartido
por el autor en la asignatura Física Computacional del tercer curso del Grado en
Física de la Universidad de La Laguna.

Quiero agradecer al profesorado de los diferentes departamentos de Física, Matem
áticas e Ingeniería de la Universidad de La Laguna la colaboración recibida
durante todos mis a˜nos de trayectoria académica y en especial a los profesores Antonio
Padilla y Albano González con quienes he compartido durante largo tiempo
la docencia de las materias relacionadas con los métodos numéricos. De igual forma
quisiera se˜nalar el impulso que ha supuesto el interés y compromiso del alumnado,
aspecto fundamental para que esta obra se finalice y salga a la luz.

Justo R. Pérez Cruz
Departamento de Física
Facultad de Ciencias
Universidad de La Laguna

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