Prólogo a la primera edición

Si bien es cosa de perogrullo, permítasele al autor recordar que no conoce, él, al lector de su obra hasta después de que ésta haya sido publicada. El autor, empero, ha ido madurando su trabajo con la inestimable ayuda de un voluntarioso lector virtual: durante la gestación de la obra, lo que aquél escribe lo escribe para alguien concreto, para alguien que lo lee, para alguien que, por más que sea imaginario, no permanece inactivo si no que, muy al contrario, no cesa de dar su parecer, y lo hace oportuna e inoportunamente. A todo lo largo de este dilatado periodo, el autor no para de conversar con su lector virtual, platica incesantemente con él. Al abrigo de este fructífero diálogo, aflorará, poco a poco, la obra, se irán precisando sus contenidos y marcando sus límites, tomará forma el cómo se va a decir lo que se quiere decir. El autor piensa entonces que el mejor modo para explicarse a los demás, para contar lo que ha pretendido hacer con lo que ha escrito, es hablarles acerca de su infatigable lector, que a estas alturas, ha dejado de ser virtual, pues sus brios, su trabajar con denuedo, le han tornado en lector real y efectivo. Digamos, pues, lo que sabemos sobre lo que nuestro lector necesita y ¡ojalá!, apetezca, y sobre cómo mejor ha de aprovecharle. Mi lector concluyó el curso pasado sus estudios de bachillerato y ha accedido recientemente a la universidad, en la que estudia un primer curso de formación básica con alto contenido matemático. No tiene, él, muy claro si lo suyo es la Matemática, la Física, la Técnica o la Economía; no sabe bien si su inclinación le llevará por etéreos caminos de abstracción o le conducirá por las pragmáticas sendas de lo aplicado. Él sí sabe que «las Matemáticas se le dieron bien», que estudiarlas nunca fue una tarea penosa, que no tuvo dificultades en entender lo que, sobre ellas, le explicó su profesor, con el que simpatizaba, que, al encarar los enigmas matemáticos con los que se las hubo de ver, supo adentrarse en ellos con tino y, si fue perseverante, llegó a alcanzar la solución, en lo que encontraba complacencia. Al poco de ponerse a estudiar el Cálculo Infinitesimal, a mi lector le habían asaltado mil dudas y temores. Para empezar, se preguntó si sus saberes matemáticos serían una base adecuada en la que sustentar lo que se le venía encima. No había pasado un mes y ya mi lector, que es hombre perspicaz, se había dado cuenta de que en su bachillerato le habían hablado, sin sosiego, de muchos más asuntos de los que ahora precisaba para seguir sus estudios con holgura. Mi lector concluyó, de ello, que con las cosas que le habían contado en bachillerato se debían formar dos conjuntos disjuntos: el de lo imprescindible y el de lo superfluo. Al primero hay que enviar aquellas cuestiones básicas, necesarias como el respirar, a las que se acude constantemente, sobre las que no se debiera admitir la menor vacilación y cuyo conocimiento, como el valor en los ejércitos, a todos se les supone. En el otro conjunto se congregan aquellos asuntos que en nada aprovecha examinar, y menos atropelladamente, en el bachilerato, pues es ahora, en su marco adecuado, cuando procede estudiarlas. Colegía de ello, mi lector, que por haberle hablado de cosas que no son del lugar, en su bachillerato no le habían explicado con el debido detenimiento lo que a el bachillerato le es propio, cosa ésta que le estaba acarreando ahora no pocas dificultades. Hay un asunto que tenía obsesionado a mi lector, del que me ha venido hablando a cada rato, demandando de mí que, al escribir, lo hiciera siguiendo, en ello, su criterio: él era de la opinión que todo hay que demostrarlo: subrayaba que, si en algún sitio la veracidad de las cosas descansa en la autoridad del que las dice, ese sitio no es la Matemática. A este respecto, me ha venido recordando machaconamente que las aseveraciones o proposiciones que se refieren a los objetos matemáticos son o axiomas o teoremas, de suerte que: 1.o) los objetos matemáticos se definen recurriendo a los axiomas, a los que ellos han de satisfacer, pues de este modo se establece, así que los axiomas son verdaderos sólo porque se supone que lo son, y 2.o) los teoremas, que son las consecuencias lógicas de los axiomas, son ciertos en tanto que se demuestran y no sólo porque alguien, por muy prestigioso que sea, lo asegure. A todo lo anterior, mi lector añadía que, consecuentemente con ello, él no estaba dispuesto a creerse nada que, sin ser un axioma, no hubiera visto demostrado. Como sus puntos de partida eran incuestionables, no me fue tarea fácil atemperar un poco a mi lector, persuadiéndole de que no llevara su discurso hasta las últimas consecuencias: In medio consistit virtus. Si me hubiera plegado a sus requerimientos, a estas alturas no habría empezado aún con el «cálculo infinitesimal», pues estaría engolfado en asuntos como la «teoría de conjuntos», que es soporte básico de la Matemática y, en particular, de nuestro curso. Si bien es verdad que las discusiones que mantuve con mi lector, acerca de lo que procede demostrar, parecían chalaneos de feriantes, estimo que logramos alcanzar un acuerdo sensato y equilibrado. El texto, que empezaría lógicamente hablando de los números reales, sobre los que aquél se sustenta, dará por supuesto que tales números existen y que son conocidos del lector, por lo que se les presentará de modo que sus propiedades aparezcan como si de axiomas se tratara. Se analizará su comportamiento y su manejo, pero nada se dirá de cómo se obtienen o construyen. A partir de aquí y al amparo de los números reales, demostraremos todo o casi todo. Debo decir que, en la discusión de estos asuntos con mi lector, obtuve un éxito notable: acabé por convencerle de que, aun cuando iba a encontrar, en el texto, las demostraciones de cuanto en él se afirmase (a partir de los números reales), él estaba dispuesto a prescindir de algunas; llegó a entender que ello, haciéndolo atinadamente, no iría en menoscabo de su formación. Mi lector admitió que muy poco habrían de ayudarle las demostraciones alambicadas o las que discurren por caminos inusuales y alejados de los nuestros; también acepta que no le perjudicará olvidarse de las demostraciones de los temas marginales o aquellas que difieran poco de otras ya estudiadas. Mi lector me confiesa que ha decidido ocuparse de aquellas demostraciones que le puedan ser útiles para aprender a razonar en Matemáticas, que le enseñen a desenvolverse con soltura en ellas. Sólo llevaba escritos unos pocos folios, cuando se produjo la primera interpelación de mi lector. En ella me hizo notar que, a diferencia de lo que hacen los profesores cuando dan sus clases, ocurre que los autores, cuando escriben libros, se permiten muy pocas concesiones a lo informal, evitan los comentarios de tipo intuitivo, procuran no trasgredir los cánones de la ortodoxia. Creía mi lector que aquello era una tiesura excesiva que no producía el menor provecho. Aunque hube de reconocer que algo de verdad había en ello, le hice notar que, con tales licencias, las que se permitían los profesores en las aulas, de ser trasladadas a los libros, se correría el riesgo de que fueran mal interpretadas y podían inducir fácilmente al error. Son muchos los recursos de los que dispone el profesor, al dirigirse a sus alumnos encaramado en la tarima del aula, sin olvidar los de carácter escénico o teatral, que no se pueden verter en la obra escrita, por lo que los autores han de ser mucho más comedidos y circunspectos, con lo que escriben, de lo que son, o pueden ser, los profesores en el ejercicio de su función. Al oírme, mi lector, que es persona razonable, dijo participar de mi opinión pero añadió que ello no impedía el que los textos se escribieran poniendo énfasis en lo importante, señalándolo de modo expreso, avisando del mayor o menor alcance de cada una de las cuestiones que se estudien, patentizando las relaciones que hubiera entre las distintas partes de la obra. Dicho lo cual, me pidió que de tal modo lo hiciera yo; prometí intentarlo, pero apunté que hacerlo bien no es un cometido fácil. Nuestro coloquio continuó, hablamos largo y tendido sobre éstas y parecidas cuestiones, sobre cómo hacer para que un texto como el presente fuera didáctico; de allí salieron algunos acuerdos. En primer lugar, yo haría el esfuerzo de compendiar, del modo más claro y preciso del que fuera capaz, los conceptos y definiciones fundamentales, así como los teoremas y resultados de mayor fuste, distinguiéndolos del resto de la obra y subrayando su importancia; ello se haría enmarcando los referidos textos y sombreando el interior del marco. Acompañando a cada una de estas partes sombreadas, irían seguidamente las cuestiones que están en conexión con ella, como demostraciones, ejemplos, ejercicios, consecuencias, comentarios, ampliaciones, complementos, etc. En esto de la didáctica, mi lector se puso muy tozudo al solicitar que, acompañando a cada cuestión de interés, hubiera algún ejemplo o ejercicio, según procediera; accedí a ello y creo haber cumplido mi compromiso. Como se desprende de cuanto llevo dicho, este texto debiera figurar como la obra de dos autores: mi lector y yo, por este orden. Él me ha dicho, no obstante, que desea permanecer en un segundo plano y que renuncia a ejercer cualquier acción legal en relación con su autoría. En lo único en lo que no ha terciado mi lector es en este último párrafo del prólogo: en los agradecimientos. Para esto el autor no necesita de ayudas. A muchos está reconocido el autor, que se precia de ello, empezando por quienes fueron sus maestros, entre los que destacan sus padres, ambos profesores de matemáticas, y acabando por su familia, de la que ha recibido grande aliento y abundantes ánimos. No puede faltar aquí una cita a los colegas que, de un modo o de otro, me han brindado ideas y consejos, muy estimables todos; desde aquí, mi agradecimiento a José Manuel Vega, a Ignacio Parra, a José Antonio Nicolás, a Manuel Martínez, a Damián Rivas, a Eduardo Ahedo, a Julio Ramírez, a Carlos Vázquez, a Hermenegildo García, a Francisco Mancebo, a Carlos Álvarez, a Carlos Martel, a María Higuera, a Ignacio Delgado. Me es grato agradecer a Eva Villacieros su magnífico trabajo, escribiendo textos matemáticos. Finalmente, he de citar la profesionalidad de las gentes de la Editorial McGraw-Hill, que, de nuevo, han hecho un excelente trabajo; en particular, gracias a Antonio García-Maroto, su director, y a Juan Stumpf y Andrés Otero, editores.

a 24 de junio de 1994 en la Villa de Madrid

Prólogo a la segunda edición


Pasan ya de doce los años de vida de este texto y creo que han sido años de buen vivir: durante este tiempo, que es mucho para como hoy van las cosas en esto del permanecer, el autor no ha visto motivos, ni por sí ni por ojos ajenos, para introducir cambios esenciales en el texto, del que, vanidad aparte, se siente orgulloso. Sin embargo, ha de confesar que, en lo pequeño, en lo local, ha hallado, a todo lo largo de él, modos de expresar las ideas que estima mejorables. También reconoce el autor que se ha encontrado, en más de un lugar, con que las cosas se dicen con no toda la precisión que, hoy, le gustaría que allí hubiera. Dado que ambas cosas las ha descubierto por aquí, por allá y por acullá, diseminadas, estaba deseoso de tener ocasión de meter la pluma y arreglar lo que, a su entender de hoy, andaba con algún desarreglo. Y la ocasión se le ha brindado la editorial McGraw-Hill, al proponerle un acicalamiento, actualización, remoce del texto. Así que, sin cambiar nada de lo que es básico en el libro, se ha revisado, poniendo buen cuidado y a todo lo largo de la obra, las maneras del decir en las definiciones, en los teoremas, en los resúmenes de resultados. Donde más se ha de notar los cambios introducidos es en aquellos lugares, que aparecen en recuadros tramados (que un amigo del autor llama los «frascos de las esencias»), en los que se ha compendiado todo lo que se ha estimado esencial y básico. Quédame en la esperanza de haber atinado.

a 26 de julio de 2006 en la Villa de Madrid